NumPy 教程（第 21 章）：线性代数

NumPy 提供了线性代数函数库 linalg，该库包含了线性代数所需的所有功能，可以看看下面的说明：

• dot 两个数组的点积，即元素对应相乘

• vdot 两个向量的点积

• inner 两个数组的内积

• matmul 两个数组的矩阵积

• determinant 数组的行列式

• solve 求解线性矩阵方程

• inv 计算矩阵的乘法逆矩阵

numpy.dot() 函数

对于两个一维的数组，计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为内积)

对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积

对于多维数组，它的通用计算公式如下，即结果数组中的每个元素都是：数组a的最后一维上的所有元素与数组b的倒数第二位上的所有元素的乘积和： dot(a,b)[i,j,k,m] = sum(a[i,:] * b[k,:,m])

numpy.dot(a,b,out=None)

参数说明：

• a : ndarray 数组

• b : ndarray 数组

• out : ndarray,可选，用来保存dot()的计算结果

计算式为：

[[1*11+2*13,1*12+2*14],[3*11+4*13,3*12+4*14]]

示例：

In [1]: import numpy.matlib

In [2]: import numpy as np

In [3]: x = np.array([[1,2],[3,4]])

In [4]: y = np.array([[11,12],[13,14]])

In [5]: np.dot(x,y)
Out[5]:
array([[37,40],[85,92]])

numpy.vdot() 函数

是两个向量的点积。 如果第一个参数是复数，那么它的共轭复数会用于计算。 如果参数是多维数组，它会被展开

计算式为：

1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130

示例：

In [6]: np.vdot(x,y)
Out[6]: 130

numpy.inner() 函数

返回一维数组的向量内积。对于更高的维度，它返回最后一个轴上的和的乘积

内积计算式为：

1*11+2*12,1*13+2*14
3*11+4*12,3*13+4*14

示例：

In [1]: import numpy as np

In [2]: np.inner(np.array([1,2,3]),np.array([0,1,0]))
Out[2]: 2

In [3]: x = np.array([[1,4]])

In [4]: x
Out[4]:
array([[1,4]])

In [5]: y = np.array([[11,14]])

In [6]: y
Out[6]:
array([[11,14]])

In [7]: np.inner(x,y)
Out[7]:
array([[35,41],[81,95]])

numpy.matmul() 函数

返回两个数组的矩阵乘积。 虽然它返回二维数组的正常乘积，但如果任一参数的维数大于2，则将其视为存在于最后两个索引的矩阵的栈，并进行相应广播

另一方面，如果任一参数是一维数组，则通过在其维度上附加 1 来将其提升为矩阵，并在乘法之后被去除，对于二维数组，它就是矩阵乘法

In [1]: import numpy.matlib

In [2]: import numpy as np

In [3]: x = [[1,0],[0,1]]

In [4]: y = [[4,1],[2,2]]

In [5]: x
Out[5]: [[1,1]]

In [6]: y
Out[6]: [[4,2]]

In [7]: np.matmul(x,y)
Out[7]:
array([[4,2]])

二维和一维运算：

In [8]: x
Out[8]: [[1,1]]

In [9]: y = [1,2]

In [10]: y
Out[10]: [1,2]

In [11]: np.matmul(x,y)
Out[11]: array([1,2])

In [12]: np.matmul(y,x)
Out[12]: array([1,2])

维度大于二的数组：

In [13]: x = np.arange(8).reshape(2,2)

In [14]: x
Out[14]:
array([[[0,3]],[[4,5],[6,7]]])

In [15]: y = np.arange(4).reshape(2,2)

In [16]: y
Out[16]:
array([[0,3]])

In [17]: np.matmul(x,y)
Out[17]:
array([[[ 2,3],[ 6,11]],[[10,19],[14,27]]])

numpy.linalg.det() 函数

计算输入矩阵的行列式

行列式在线性代数中是非常有用的值。 它从方阵的对角元素计算。 对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差

换句话说，对于矩阵[[a，b]，[c，d]]，行列式计算为 ad-bc。 较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合

In [1]: import numpy as np

In [2]: sum = np.array([[1,4]])

In [3]: np.linalg.det(sum)
Out[3]: -2.0000000000000004

In [4]: sum = np.array([[6,[4,-2,8,7]])

In [5]: sum
Out[5]:
array([[ 6,[ 4,[ 2,7]])

In [6]: np.linalg.det(sum)
Out[6]: -306.0

In [7]: 6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2)
Out[7]: -306

numpy.linalg.solve() 函数

给出了矩阵形式的线性方程的解

考虑以下线性方程：

x + y + z = 6

2y + 5z = -4

2x + 5y - z = 27

如果矩阵成为A、X和B，方程变为：

AX = B

或

X = A^(-1)B

numpy.linalg.inv() 函数

计算矩阵的乘法逆矩阵

逆矩阵 inverse matrix：设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵，E为单位矩阵

In [1]: import numpy as np

In [2]: x = np.array([[1,4]])

In [3]: y = np.linalg.inv(x)

In [4]: x
Out[4]:
array([[1,4]])

In [5]: y
Out[5]:
array([[-2.,1. ],[ 1.5,-0.5]])

In [6]: np.dot(x,y)
Out[6]:
array([[1.0000000e+00,0.0000000e+00],[8.8817842e-16,1.0000000e+00]])

创建一个矩阵A的逆矩阵:

In [1]: import numpy as np

In [2]: a = np.array([[1,5,-1]])

In [3]: a
Out[3]:
array([[ 1,[ 0,-1]])

In [4]: ainv = np.linalg.inv(a)

In [5]: ainv
Out[5]:
array([[ 1.28571429,-0.28571429,-0.14285714],[-0.47619048,0.14285714,0.23809524],[ 0.19047619,-0.0952381 ]])

In [6]: b = np.array([[6],[-4],[27]])

In [7]: b
Out[7]:
array([[ 6],[27]])

In [8]: x = np.linalg.solve(a,b)

In [9]: x
Out[9]:
array([[ 5.],[ 3.],[-2.]])

结果也可以使用 NumPy.dot 函数获取：

x = np.dot(ainv,b)

（编辑：北几岛）

【声明】本站内容均来自网络，其相关言论仅代表作者个人观点，不代表本站立场。若无意侵犯到您的权利，请及时与联系站长删除相关内容!